Sinus og stumpvinklede trekanter

Hvis du beregner vinkler med sinus, i en trekant der viser sig at være stumpvinklet, skal du passe på, for der kan optræde to resultater, afhængigt af hvor meget du ved om trekanten.

Lad os antage at du har flg. oplysninger om en trekant:

Vinkel A = 25 grader, Side a = 3 og side c = 5.

Med disse oplysninger kan vi beregne vinkel \(C\):

$$ \begin{align}{a \over sin(A)} &= {c \over sin(C)} \Leftrightarrow \\[10pt] sin(C) &= {c \cdot sin(A) \over a } \Leftrightarrow \\[10pt] sin(C) &= {5 \cdot sin(25^\circ) \over 3 } \Leftrightarrow \\[10pt] sin(C) &= 0,704 \Leftrightarrow \\[10pt] sin^{-1}(0,704) &= 44,78^\circ \end{align} $$

Resultatet bliver altså en trekant, som vist på figur 1, med vinkel A = 25, vinkel B = 110,22 og vinkel C = 44,78

Beregning af den stumpe vinkel

Ser du på figur 2 kan du se, at det er muligt at tegne en anden trekant med de samme oplysninger. Så her er et tilfælde, hvor der optræder to resultater.

Det er heldigvis sådan, at sinus relationen altid vil beregne den spidse vinkel og det bagefter er ret nemt, at finde den stumpe vinkel, så man kan beregne begge. Begge trekanter er nemlig en korrekt løsning af opgaven, når du kun har de tre oplysninger til rådighed.

Når du har fundet den spidse vinkel med sinus relationen, skal du trække vinklen fra 180, for at få den stumpe vinkel. Vi antager at vinklen er 44,78 grader, som beregnet tidligere og kalder den \(C_1\). Den stumpe vinkel kalder vi \(C_2\):

$$ C_2 = 180 - C_1 \Leftrightarrow \\[12pt] C_2 = 135,22^\circ $$

Nu kender du vinkel \(C\) for begge trekanter og kan regne resten ud for dem begge. Det betyder nemlig at side \(b\) også har to forskellige længder. (samme gælder for omkreds, højde og areal)

Reglen for hvornår der er to løsninger er: Hvis den vinkel du regner ud med sinus relation, bliver mindre end 90 grader, vil der være to resultater.

Figur 1

Viser trekanten efter beregning med sinus relation.

Figur 2

Viser en stumpvinklet trekant, der er konstrueret med samme oplysninger.

Figur 3

Viser de to mulige resultater, der er konstrueret med samme oplysninger, efter beregning med sinus relation.