Fibonacci talrækken
Fibonacci tal er opkaldt efter Leonardo Fibonacci, som var en Italiensk matematiker. Leonardo beskrev denne talrække første gang i år 1202.
De første 10 tal i talrækken er:
$$ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 $$
Det næste tal i talrækken er summen af de to foregående tal:
$$ 0+1=1 $$
$$ 1+1=2 $$
$$ 1+2=3 $$
$$ 2+3=5 $$
$$ 3+5=8 $$
$$ 5+8=13 $$
$$ 8+13=21 $$
$$ 13+21=34 $$
$$ 21+34=55 $$
Fibonacci tal som sidelængde i et kvadrat, kan opstilles sådan her:
Sammenhæng i talrækken
Hvis man tager Fibonacci tallene og sætter dem i anden potens \(\ (F^2)\), så får man en ny talrække.
| Fibonacci | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 |
| \(F^2\) | 1 | 1 | 4 | 9 | 25 | 64 | 169 |
Hvis man lægger tallene i den nye talrække sammen, op til et bestemt Fibonacci tal, vil summen blive det samme, som hvis man multiplicerer det valgte Fibonacci tal med det næste Fibonacci tal.
Feks:
Vi lægger \(F^2\)-tallene sammen op til Fibonacci tallet 3:
$$ 1+1+4+9 =15 $$
Vi ganger Fibonacci tallet 3 med det næste i rækken:
$$ 3 \cdot 5=15 $$
Uanset hvor i talrækken man gør dette, vil det give det samme resultat. Her vist et eksempel med Fibonacci tallet 5:
Det gyldne snit
Det gyldne snit er en uendelig konstant. Den benævnes med det græske bogstav phi: \(\large \phi\)
$$ \large \phi=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}=1,618..... $$
Der er en sammenhæng mellem Fibonacci tal og det gyldne snit.
Hvis man tager to, på hinanden følgende, Fibonacci tal i rækken og dividere det sidste med det første, vil man få et resultat tæt på det gyldne snit. Vi prøver at tage 34 og 55:
$$ \large \frac{55}{34}=1,61764 $$
Jo større tal, desto tættere på kommer man. Det betyder at vi kan bruge det gyldne snit til at beregne et fibonacci tal, uden at kende det foregående tal. Formlen ser sådan her ud:
$$ F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\Biggl( \biggl( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \biggr)^n - \biggl( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \biggr)^n \Biggr) $$
Hvor \(\large n\) er nummeret på det Fibonaccital man ønsker at finde.
Feks. Fibonacci nummer 10 er 55
Se regneeksempel herunder
Fibonacci nummer 25
Vi vil gerne beregne Fibonacci nummer 25:
$$ F_{25}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Biggl( \biggl( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \biggr)^{25} - \biggl( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \biggr)^{25} \Biggr) \Leftrightarrow $$
$$ F_{25}=0,4472... \cdot \Biggl( \biggl( 1,618... \biggr)^{25} - \biggl( -0,618... \biggr)^{25} \Biggr) \Leftrightarrow $$
$$ F_{25}=0,4472... \cdot \Biggl( \biggl( 1,618... \biggr)^{25} - \biggl( -0,618... \biggr)^{25} \Biggr) \Leftrightarrow $$
$$ F_{25} = 75025 $$
Det 25. Fibonacci tal er altså 75025
Det kan godt være lidt svært at udregne på en almindelig lommeregner, fordi man må ikke afrunde tallene, så bliver resultatet ikke korrekt.
....Jeg valgte at lave en funktion i Excel.
Fibonacci spiral
Når vi opstiller Fibonacci tallene i kvadrater, kan der tegnes en spiral fra midten og ud.
Fibonacci spiralen og det gyldne snit optræder mange steder i naturen. Feks. Solsikkens frø, Nautil skaller, blomkålshoveder. Måden blade og blomster vokser på.
Kunstnere, Arkitekter og Fotografer bruger også disse tal og mål til, at lave det perfekte billede eller bygning.
Eksempler
På nettet kan du finde mange billeder og eksempler på Fibonacci og det gyldne snit.
Bemærk at Fibonacci spiral ikke er det samme, som Den Gyldne Spiral. Den gyldne spiral er en logaritmisk spiral, der vokser med en faktor svarende til det gyldne snit.
Fibonacci spiralen kommer tættere og tættere på, jo større den bliver.