Hvad er et fuldkomment tal?

Et fuldkomment tal er et heltal, hvor summen af tallets ægte divisorer samt tallet 1, er lig med tallet selv.

Og hvad betyder det så?

Det mindste heltal, der er fuldkomment, er tallet 6.

6 har to ægte divisorer, nemlig 2 og 3. Hvis man tager divisorerne og tallet 1 og lægger dem sammen, giver det 6:

$$ 1+2+3=6 $$

Det næste fuldkomne tal er 28:

$$ 1+2+4+7+14=28 $$

Man kender endnu ikke til nogen ulige tal der er fuldkomne, og man mener ikke at de findes.

Divisorer

Når man taler om et tals ægte divisorer, så er det alle de tal, som man kan dele med, hvor resultatet bliver et heltal.

Bortset fra 1 og tallet selv. Disse kaldes for trivielle divisorer.

Hvis vi tager tallet 12, så kan det deles med 1, 2, 3, 4, 6 og 12.

  • 1 og 12 er trivielle divisorer
  • 2, 3, 4 og 6 er ægte divisorer

Primtal har ingen ægte divisorer, da de kun kan deles med 1 og sig selv.

Ufuldkomne tal

Hvis summen af et tals divisorer er mindre end tallet selv, kaldes tallet defektivt.

Hvis summen af divisorne er større end tallet selv, er der tale om et excessivt tal.

feks. er tallet 15 defektivt fordi:

\(1+3+5=9\) og \(9\lt 15\)

Tallet 20 er excessivt fordi:

\(1+2+4+5+10=22\) og \(22\gt 20\)

De mest defektive tal er primtallene, da de ikke har nogle ægte divisorer og summen derfor altid er 1.

Det første ulige excessive tal er 945.