Retvinklet trekant
Den retvinklede trekant, har som navnet antyder, altid en ret vinkel.
Den rette vinkel kaldes altid for Vinkel \(C\). Vinklerne i trekanter benævnes altid med store bogstaver, og siderne med små bogstaver.
De to sider der danner den rette vinkel, kaldes Kateter og benævnes Side \(a\) og Side \(b\) Den tredie side kaldes Hypotenusen og benævnes Side \(c\)
Bemærk at Side \(a\) ligger overfor Vinkel \(A\). Det samme gælder for \(b-B\) og \(c-C\) og sådan vil det altid være.
Pythagoras læresætning
Pythagoras læresætning beskriver forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant.
Pythagoras siger at "kvadratet på side \(a\) + kvadratet på side \(b\) = kvadratet på side \(c\)".
$$ a^2+b^2=c^2 $$
Hvis vi har en trekant hvor \(a=3\) og \(b=4\), får vi følgende:
$$ \begin{align} 3^2 + 4^2 &= c^2 \Leftrightarrow \\ 9 + 16 &= 25 \Leftrightarrow \\ c^2 &= 25 \Leftrightarrow \\ c &= \sqrt{25} = 5 \end{align}$$
Udfra læresætningen kan udledes to formler til at beregne side a og b:
$$ a = \sqrt{c^2-b^2} $$
$$ b = \sqrt{c^2-a^2} $$
Figur
Figuren viser kvadraterne på trekantens sider.
Du kan læse om beregning af vinkler i afsnittet om trigonometri.
Trigonometri og retvinklede trekanter
Cosinus, sinus og tangens kan bruges til, at beregne vinkler og sider i retvinklede trekanter.
HUSK at du ikke må bruge disse formler til trekanter, der ikke er retvinklede. Hertil skal du bruge cosinus- og sinus relationerne.
De to sider, der danne den rette vinkel \(C\), i en retvinklet trekant kaldes Kateter og hedder altid \(a\) og \(b\).
Siden \(c\) kaldes for hypotenusen.
Når vi taler om vinkler og sider, taler vi om "hosliggende" og "modstående" kateter.
Formler
Hvis du ser på tegningen, kan du se at side \(b\) ligger hos vinkel \(A\), så den er hosliggende. Side \(a\) er derimod på modsatte side af vinkel \(A\), så det er den modstående katete.
I retvinklede trekanter forholder det sig sådan at:
$$cos(v) = \mathit{hosliggende\ katete \over hypotenusen}$$
$$sin(v) = \mathit{modstående\ katete \over hypotenusen}$$
$$tan(v) = \mathit{modstående\ katete \over hosliggende\ katete}$$
Regnemaskine
FormelsamlingRetvinklet trekant
Vinkel A
\( A=cos^{-1}\biggl(\frac{b}{c}\biggr) \)
\( A=sin^{-1}\biggl(\frac{a}{c}\biggr) \)
\( A=tan^{-1}\biggl(\frac{a}{b}\biggr) \)
Vinkel B
\( B=cos^{-1}\biggl(\frac{a}{c}\biggr) \)
\( B=sin^{-1}\biggl(\frac{b}{c}\biggr) \)
\( B=tan^{-1}\biggl(\frac{b}{a}\biggr) \)
Side b
\( b=\sqrt{c^2-a^2} \)
\( b=c\cdot cos(A) \)
\( b=a\cdot tan(B) \)
\( b=c\cdot sin(B) \)
\( b=\frac{a}{tan(A)} \)
Side a
\( a=\sqrt{c^2-b^2} \)
\( a=\frac{b}{tan(B)} \)
\( a=c\cdot sin(A) \)
\( a=c\cdot cos(B) \)
\( a=b\cdot tan(A) \)
Side c
\( c=\sqrt{a^2+b^2} \)
\( c=\frac{b}{cos(A)} \)
\( c=\frac{a}{cos(B)} \)
\( c=\frac{a}{sin(A)} \)
\( c=\frac{b}{sin(B)} \)
Areal
\( Areal=\frac{a\cdot b}{2} \)
Omkreds
\( Omkreds=a+b+c \)