Ligebenet trekant

En ligebenet trekant har altid to lige lange ben og to lige store vinkler.

Med kendskab til en vinkel og enten højden eller en sidelængde, er det muligt at beregne resten af trekanten.

Tips til beregning

Hvis du kender den ene vinkel, vil det altid være muligt at regne de to andre ud, fordi vinkelsummen i en trekant altid er 180 grader. 

-Hvis vinkel \(C\) er 70 grader, vil \(A\) og \(B\) være 55 grader (de er jo altid ens). 

$$ \angle B+\angle C = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \\[14pt] \angle B=\angle C=\frac{110^\circ}{2}=55^\circ $$

-Hvis vinkel \(A\) eller \(B\) er 35 grader, så er vinkel \(C\) 110 grader fordi \(35+35+110=180\)

Højden deler trekanten i to lige store retvinklede trekanter, og det er derfor muligt at anvende Pythagoras læresætning. 

Siden \(c\) og vinkel \(C\) halveres af højden.

Regnemaskine

a/b

c

h

A/B

∠C

T

O

Beregning af din figuer vises her
FormelsamlingLigebenet trekant
Vinkel C

\( C=2\cdot cos^{-1}\biggl(\frac{h}{a}\biggr) \)


\( C=2\cdot cos^{-1}\biggl(\frac{h}{b}\biggr) \)


\( C=2\cdot tan^{-1}\biggl(\frac{c}{2\cdot h}\biggr) \)


\( C=2\cdot sin^{-1}\biggl(\frac{c}{2\cdot a}\biggr) \)


\( C=2\cdot sin^{-1}\biggl(\frac{c}{2\cdot b}\biggr) \)

Vinkel A

\( A=sin^{-1}\biggl(\frac{h}{b}\biggr) \)


\( A=cos^{-1}\biggl(\frac{c}{2\cdot b}\biggr) \)


\( A=tan^{-1}\biggl(\frac{2\cdot h}{c}\biggr) \)


\( A=\frac{180-C}{2} \)

Vinkel B

\( B=sin^{-1}\biggl(\frac{h}{a}\biggr) \)


\( B=cos^{-1}\biggl(\frac{c}{2\cdot a}\biggr) \)


\( B=tan^{-1}\biggl(\frac{2\cdot h}{c}\biggr) \)


\( B=\frac{180-C}{2} \)

Højde

\( h=\sqrt {b^2-\biggl(\frac{c}{2}\biggr)^2} \)


\( h=b\cdot sin(A) \)


\( h=b\cdot cos\biggl(\frac{\angle C}{2} \biggr) \)


\( h=\frac{c}{tan(C)} \)


\( h=\frac{c}{2}\cdot tan(A) \)

Side a

\( a=\sqrt{h^2 + \biggl(\frac{c}{2} \biggr)^2} \)


\( a=\frac{c}{2\cdot cos(B)} \)


\( a=\frac{h}{cos\biggl(\frac{\angle C}{2} \biggr)} \)


\( a=\frac{h}{sin(B)} \)


\( a=\frac{c}{2\cdot sin\biggl(\frac{\angle C}{2} \biggr)} \)

Side b

\( b=\sqrt{h^2 + \biggl(\frac{c}{2} \biggr)^2} \)


\( b=\frac{c}{2\cdot cos(A)} \)


\( b=\frac{h}{cos\biggl(\frac{\angle C}{2} \biggr)} \)


\( b=\frac{h}{sin(A)} \)


\( b=\frac{c}{2\cdot sin\biggl(\frac{\angle C}{2} \biggr)} \)

Side c

\( c=2\cdot \sqrt{a^2-h^2} \)


\( c=2\cdot b\cdot cos(A) \)


\( c=2\cdot b\cdot sin\biggl(\frac{\angle C}{2}\biggr) \)


\( c=2\cdot h\cdot tan\biggl(\frac{\angle C}{2}\biggr) \)


\( c=2\cdot \frac{h}{tan(A)} \)

Areal

\( T= \frac{h\cdot c}{2} \)


\( T= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2\cdot c^2 - \biggl( \frac{a^2+c^2-b^2}{2}\biggr)^2} \)


\( T= \frac{a\cdot b\cdot sin(C)}{2} \)


\( T= \frac{a\cdot c\cdot sin(B)}{2} \)


\( T= \frac{b\cdot c\cdot sin(A)}{2} \)

Omkreds

\( O=a+b+c \)


\( O=\frac{h}{sin(A)}+\frac{h}{sin(B)}+\frac{h}{tan(A)}+\frac{h}{tan(B)} \)