Andengrads polynomium

En andengrads polynomium skrives på denne form:

$$ \large f_{(x)}=a \cdot x^2 + b \cdot x + c $$

\(\large a\) kan ikke være 0. Hvis vi sætter 0 ind og ganger, så bliver det ingenting. Leddet forsvinder og tilbage står en lineær funktion

Hvis du tegner en andengrads polynomium som graf, bliver den til en parabel, hvor følgende gælder:

• Hvis \(\large a>0\) vil benene vende opad
• Hvis \(\large a<0\) vil benene vende nedad  

Toppunkt og skæringspunkt

Andengradspolynomium hænger sammen med andengradsligninger.

For at finde skæringspunktet med X-aksen, skal du løse andengradsligningen, hvor \( y=0\):

$$ \large 0=ax^2+bx+c $$

Du skal gøre som du plejer, når du regner andengradsligninger

Diskriminanten vil fortælle dig lidt om parablens skæringspunkt:

• Hvis \( D > 0\) skærer den X-aksen to steder
• Hvis \( D < 0\) skærer den ikke X-aksen
• Hvis \( D = 0\) skærer den kun X-aksen én gang

For at beregne toppunktet i en parabel, skal vi også bruge diskriminaten:

$$ \large D= b^2-4ac $$

Når vi har diskriminanten, kan vi regne \((\large x,y)\) for toppunktet:

$$ \large x=\frac{-b}{2a} $$

$$ \large y=\frac{-D}{4a} $$

Eksempel skæringspunkt

Vi prøver funktionen \(\large y=2x^2-2x+0\)

Først finder vi diskriminanten:

$$ D=b^2-4ac \Leftrightarrow $$

$$ D=2^2-4 \cdot 2 \cdot 0 \Leftrightarrow $$

$$ D=4 $$

Diskriminanten er positiv. Det betyder at parablen vil skære X-aksen to steder. Vi regner de to steder ud med formlen for andengradsligninger:

$$ \Large x= \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2 \cdot a} $$

Skæringspunkt 1:

$$ \large x= \frac{-(-2) + \sqrt{4}}{2 \cdot 2} $$

$$ \large x= \frac{2+2}{4} $$

$$ \large \underline{\underline{x= 1}} $$

Skæringspunkt 2:

$$ \large x= \frac{-(-2) - \sqrt{4}}{2 \cdot 2} $$

$$ \large x= \frac{2-2}{4} $$

$$ \large \underline{\underline{x= 0}} $$

Eksempel toppunktet

I eksemplet fandt vi ud af at diskriminanten er 4

Nu kan vi regne \((x,y)\) for toppunktet:

$$ \large x=\frac{-b}{2a} \Leftrightarrow $$

$$  \large x=\frac{-(-2)}{2\cdot 2} \Leftrightarrow  $$

$$ \large x=0,5 $$

$$ \large y=\frac{-D}{4a} \Leftrightarrow $$

$$ \large y=\frac{-4}{4 \cdot 2} \Leftrightarrow $$

$$ \large y=-0,5 $$

Toppunkt = \((0,5;-0,5)\)

Koordinatsæt

Vi har nu tre koordinatsæt, de to skæringspunkter og toppunktet:

$$ \large (0,0), (0,5;-0,5), (0,1) $$

Man kunne godt tegne parablen med de tre, men jeg synes lige vi finder to mere, ved at sætte -1 og 2 ind i funktionen:

$$ \large y=2 \cdot -1^2-2 \cdot -1+0 $$

$$ \large y=4 $$

$$ \large y=2 \cdot 2^2-2 \cdot 2+0 $$

$$ \large y=4 $$

Nu kan den tegnes....

Parablen