1
To ligninger

I de fleste ligninger er der én ubekendt, men hvad nu hvis der er to:

$$ x=y+4 $$

Her vil der være mange løsninger for, hvad \(x\) og \(y\) kan være. Faktisk vil hver tilfælde hvor \(y\) er 4 mindre end \(x\) være sande.

\(x=5\) og \(y=1\)

eller

\(x=6\) og \(y=2\)

Begge resultater er sande og rækken er uendelig.

Hvis vi tilfører endnu en ligning, så der er to ligninger, kaldes det et ligningssystem.

$$ x=y+4 $$

$$ y=8-x $$

Vi har nu To Ligninger med To Ubekendte og dem vil det i de fleste tilfælde være muligt at løse.

Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden går ud på, at udskifte (substituere) den ene ubekendte med et udtryk for værdien.

Vi starter med at skrive den nederste ligning op:

$$ y=8-x $$

Hvis vi kigger på den øverste ligning, kan vi se hvad \(x\) er: \( x=y+4 \), så vi kan udskifte \(x\) i den nederste med udtrykket for \(x\) i den øverste ligning

$$ y=8-\color{red}{(y+4)} $$

Husk parentesen, ellers kan det gå galt med fortegn. Nu har vi en ligning, som kun har én ubekendt \(y\), og den kan vi løse: 

Vi ophæver minus-parentes og skifter fortegn:

$$ y=8-y-4 $$

Vi flytter \(-y\) over på den anden side, skifter fortegn og regner færdigt.

$$ y+y=8-4 $$

$$ 2y=4 $$

$$ \underline{\underline{y=2}} $$

Nu har vi fundet \(y\), så skal vi finde \(x\)

Den anden ubekendte

Når vi har fundet den første ubekendte, skal vi finde den anden.

Det gøres ved at tage den anden ligning og sætte \(y\) ind:

$$ x=y+4 $$

$$ x=2+4 $$

$$ \underline{\underline{x=6}} $$

Løsningen på de to ligninger:

$$ x=y+4 $$

$$ y=8-x $$

Er:

$$ y=2 $$

$$ x=6 $$

Du kan jo prøve at sætte \(x\) og \(y\) ind i ligningerne og kontrollere om det passer (Det er altid en god ide)

 

Her kommer et andet eksempel, som er lidt sværere:


2
Substitution Eksempel 2

Vi har et ligningssystem med to ligninger:

$$ 8y-4x=4 $$

$$ 2y+4x=20 $$

Her kan vi ikke udlæse værdien af \(x\) og \(y\) direkte, så vi er nødt til at finde den først.

Vi tager den øverste ligning og isolere \(x\):

$$ \begin{aligned} 8y-4x &=4 \Leftrightarrow \\[12pt]  8y &=4+4x \Leftrightarrow \\[12pt]  8y-4 &=4x \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{8y-4}{4} &=\frac{4x}{4} \Leftrightarrow \\[12pt] 2y-1 &=x \end{aligned}$$

Vi har nu et udtryk for værdien \(x\)

Find første ubekendte

$$ 8y-4x=4 $$

$$ 2y+4x=20 $$

Vi sætter nu værdien for \(x\) ind i ligning 2

$$ 2y+4\color{red}{(2y-1)}=20 $$

Vi skal ophæve parentes, ved at gange den ud:

$$ \begin{aligned} 2y+8y-4&=20 \Leftrightarrow \\[12pt]  10y-4&=20 \Leftrightarrow \\[12pt]  \frac{10y-4}{10}&=\frac{20}{10} \Leftrightarrow \\[12pt]  y-\frac{4}{10} &= 2 \Leftrightarrow \\[12pt]  y&= 2+ \frac{4}{10} \Leftrightarrow \\[12pt]  y &= 2\frac{4}{10} \Leftrightarrow  \\[12pt]  y &= 2,4  \end{aligned} $$

Find anden ubekendte

Vi fandt jo ud af i første gennemregning, at:

$$ x=2y-1 $$

Vi fandt ud af at:

$$ y = 2,4 $$

Så nu kan vi bare sætte \(y\) ind i ligningen for \(x\):

$$ x=2y-1 \Leftrightarrow   $$

$$ x=2\cdot 2,4 -1 \Leftrightarrow   $$

$$ x=4,8 -1 \Leftrightarrow   $$

$$ \underline{\underline{x=3,8}} $$

Kontrol:

$$ 8\cdot2,4-4\cdot3,8=4 $$

$$ 2\cdot2,4+4\cdot3,8=20 $$

Begge er sande!


3
Lige store koefficienters metode

Koefficienter er de tal der står foran de ubekendte. Feks i denne ligning \(\color{red}8y-\color{red}4x=4\). Her er 8 og 4 koefficienterne.

Vi tager de to ligninger fra tidligere:

$$ 8y-4x=4 $$

$$ 2y+4x=20 $$

Vi skal have lige store koefficienter for en af de ubekendte feks \(y\). Det kan vi få ved at gange den nederste ligning med 4, så vil vi få \(8y\), som vi har i den øverste ligning.

$$ \color{red}{4\cdot}2y+\color{red}{4\cdot}4x=\color{red}{4\cdot}20 \Leftrightarrow  $$

$$ 8y+16x=80 $$

Nu har vi to ligninger med to lige stor koefficienter. Nemlig \(8y\)

Trække ligninger fra hinanden

Nu skal de to ligninger, med lige store koefficienter trækkes fra hinanden. Der gør vi sådan her:

$$ 8y-4x\color{red}{-(8y+16x)}=4\color{red}{-80} $$

Husk at sætte parentes, så der ikke opstår fortegnsfejl.

Vi ophæver minus-parentesen, så der skal ændres fortegn:

$$ 8y-4x-(8y+16x)=4-80 \Leftrightarrow  $$

$$ 8y-4x-8y-16x=4-80  $$

Vi fortsætter med at isolere/finde \(x\).

\(y8\) forsvinder fordi \(8y-8y=0\)

$$ \begin{aligned} -4x-16x &= -76 \Leftrightarrow  \\[12pt] -20x &= -76  \Leftrightarrow  \\[12pt] \frac{-20x}{20} &= \frac{-76}{20}  \Leftrightarrow  \\[12pt] -x &= -3,8  \Leftrightarrow \\[12pt]  x &= 3,8 \end{aligned} $$

Find den anden ubekendte

Nu har vi fundet \(x\), så skal vi finde \(y\).

Det er ikke anderledes end de tidligere eksempler. Vi indsætter vores \(x\) i en af ligningerne og finder \(y\). Det er ligemeget hvilken af de to ligninger du bruger:

$$ \begin{aligned}2y+4x&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y+4\cdot 3,8&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y+15,2&=20 \Leftrightarrow \\[12pt] 2y&=20-15,2 \Leftrightarrow \\[12pt] \frac{2y}{2}&=\frac{4,8}{2} \Leftrightarrow \\[12pt] y&=2,4 \end{aligned} $$

Vi får altså samme reultater, som ved substitutionsmetoden, så det er korrekt.


4
Når der er mange løsninger

Nogle ligningssystemer vil resultere i mange løsninger:

$$ x+y = 20 $$

$$ 4x+4y=80 $$

Hvis vi bruger Lige Store Koefficienter, skal vi gange den øverste ligning med 4, hele vejen igennem. Begge ligninger bliver ens.

$$ \color{red}4x+\color{red}4y=80 $$

$$ 4x+4y=80 $$

Når vi trækker de to ligninger fra hinanden, får vi

$$ 0=0 $$

Det er jo rigtigt, og det betyder at alle værdier, hvor \(x+y=20\) er sande.

$$ x=5, \quad og \quad y=15 $$

$$ x=\frac{22}{2},\quad og \quad  y=\frac{18}{2} $$

Der er mange løsninger....

 

Når der ikke er nogen løsning

Nogle ligningssystemer vil aldrig have nogen løsning:

$$ x+y = 20 $$

$$ 4x+4y=60 $$

Hvis vi bruger Lige Store Koefficienter, skal vi gange den øverste ligning med 4, hele vejen igennem.

$$ \color{red}4x+\color{red}4y=80 $$

$$ 4x+4y=60 $$

Når vi trækker de to ligninger fra hinanden, får vi

$$ 0=20 $$

Det er ikke sandt. Det betyder at uanset hvilke tal du sætter ind som \(x\) og \(y\), vil det aldig kunne gå op i begge ligninger.

Der er ingen løsning på dette ligningssystem....