Andengradsligning
En andengradsligning kan altid skrives op på denne form eller kan omskrives til formen:
$$ \Large ax^2 + bx + c = 0 $$
Det kaldes en andegradsligning, fordi der er et led, hvor \(x\) er står i anden potens. \(ax^2\).
Hvis \(a = 0\), er det ikke en andengradsligning, fordi \(0x^2 = 0\) og så forsvindet leddet. Tilbage står en førstegradsligning.
Eksempler på andengradsligninger:
$$ \large 40 + 2x = 2x^2 $$
$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$
De er begge to andengradsligninger, fordi de kan omskrives til formen:
$$ \large ax^2 + bx + c = 0 $$
Hvor \( \large a ≠ 0 \)
Diskriminanten
Det kan være svært at isolere \(x\) i en andengradsligning, ligesom man gør med en førstegradsligning.
Derfor er der en metode til at finde \(x\).
Først skal du finde det, vi kalder Diskriminanten. Den kan også fortælle dig om der er en, to eller ingen løsning på ligningen.
Diskriminanten \(d\) finder du med denne formel:
$$ \large d = b^2 - 4 \cdot a \cdot c $$
- Hvis Diskriminanten er positiv (større end 0), er der to løsninger.
- Hvis Diskriminanten er 0, er der kun en løsning.
- Hvis Diskriminanten er negativ (mindre end 0), er der ingen løsninger.
Eksempel
Vi skal finde diskriminanten i denne ligning:
$$ \large 40 + 2x = 2x^2 $$
Vi skal have \( a, b \) og \(c\) på den ene side af lighedstegnet (Andengradsformen).
I denne ligning er der ikke noget \(c\). Det betyder at \(c\) er lig med \(0\).
\(2x\) flyttes og skifter fortegn. \(c\) lægges til som et \(0\):
$$ \large 40 = 2x^2 - 2x + 0 $$
Nu kan vi finde \( a, b \) og \(c\) i ligningen:
- \(a\) finder du i \(2x^2 \Leftrightarrow a=2\)
- \(b\) finder du i \(2x \Leftrightarrow b=2\)
- \(c\) findes ikke \( \Leftrightarrow c=0 \)
Vi udregner Diskriminanten:
$$ \large d = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 0 \Leftrightarrow d = 4 $$
Diskriminanten er positiv, hvilket betyder at ligningen har to løsninger.
Diskriminanten skal bruges til at regne ligningen ud. Se hvordan under Løsning af andengradsligning